Lembrando alguns conceitos úteis de Probabilidades

0.1 Apresentação

Este modesto texto é um resumo de várias notas de estudo sobre Teoria das Probabilidades, orientado para o estudo de Reconhecimento de Padrões. Como sabemos, existe uma família de classificadores baseados em métodos estatísticos, cuja compreensão requer uma base considerável de conhecimentos sobre Probabilidade, particularmente Probabilidade Bayesiana. A intenção deste trabalho é reunir, deforma resumida, as definições e conceitos relativos a essa base, fornecendo uma referência para consulta rápida. A idéia é que seja um material que permita relembrar muito rapidamente os conceitos,e havendo necessidade (ou desejo) de aprofundá-los, a pessoa certamente buscará melhores fontes. A sequência em que os assuntos estão dispostos reflete bem o caráter utilitário do texto. Por exemplo,começamos diretamente de Variáveis Aleatórias Discretas, considerando que conhecimentos prévios já estão sob nosso domínio.

0.2 Variáveis Aleatórias Discretas

Muitas vezes o resultado de um experimento não é numérico. Por exemplo, o experimento `Retire uma lâmpada de um lote e teste-a' tem como resultados possíveis `Defeituosa' ou `Não-defeituosa'. Por outro lado, um dado experimento pode ser traduzido numericamente de várias formas diferentes, e pode ser útil e necessário escolher uma delas. Assim, dado um experimento x e seu espaço amostral associado, S, uma variável aleatória X é uma função que associa a cada elemento s do espaço amostral, s Î S, um número real X(s).

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória cujo contradomínio é um conjunto finito, ou infinito-enumerável.

Dado um experimento x, seja X uma variável aleatória discreta sobre o espaço amostral S associado a x. Isto é, X assume os valores X(S) = {x₁, x₂, ...}. Chamemos de X_R o contradomínio de X. Para cada resultado possível x_i, i = 1, 2, ..., podemos associar um número denominado probabilidade de x_i: p(x_i) = P(X = x_i) satisfazendo as condições:

1. p(x_i) ³ 0, " i = 1, 2, ...


2. å^¥_{i = 1}p(x_i) = 1

Sendo assim, p é chamada função de probabilidade da variável aleatória X. A coleção de pares [x_i, p(x_i)] é chamada de distribuição de probabilidade de X.

Seja B um subconjunto no contradomínio R_X da variável aleatória X, e A o conjunto formado por todos os eventos t tais que X(t) Î B. Então A e B são eventos equivalentes.

Seja X uma variável aleatória discreta definida sobre um espaço amostral S, com contradomínio finito. Se para cada x_i Î X(S), definimos a probabilidade de x_i como P(X = x_i), obtemos um espaço de probabilidade. Chamemos de f a esta função, com domínio X(S) e contradomínio no intervalo [0, 1], definida como f(x_i) = P(X = x_i). f é denominada distribuição de probabilidade, função de distribuição ou distribuição de probabilidade de X.Dado que X(S) = {x₁, x₂, ..., x_n}, a distribuição f satisfaz:

1. f(x_i) ³ 0, i = 1, 2, ..., n


2. åⁿ_{i = 1}f(x_i) = 1

Lembremos que P(X = a) = P({s Î S : X(s) = a}).

Uma vez definidas as variáveis aleatórias, definimos alguns elementos que caracterizam uma variável aleatória:

1. Esperança ou Média
   
   Seja X uma variável aleatória discreta finita. Em geral podemos definir a média de uma variável aleatória X como E(X) = x₁f(x₁) + x₂f(x₂) + ... + x_nf(x_n) = åⁿ_{i = 1}x_if(x_i). Isto é, a esperança é a média ponderada dos possíveis valores de X, ponderados por suas probabilidades. A média é também denotada como m_X ou m.


2. Variância
   
   A variância mede o espalhamento ou dispersão dos valores assumidos por X, em relação à sua média. O que, em muitas aplicações, é uma informação mais útil do que a média em si. A variância é dada por var(X) = åⁿ_{i = 1}(x_i - m)²f(x_i) = E((X - m)²), onde m é a média de X.


3. Desvio-padrão
   
   O desvio-padrão de X, s_X = Ö{var(X)}, é a raiz quadrada da variância de X.

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On 09 Apr 2009, 19:06.