0.1 Apresentação
Este modesto texto é um resumo de várias notas de estudo sobre Teoria das Probabilidades, orientado para o estudo de Reconhecimento de Padrões. Como sabemos, existe uma família de classificadores baseados em métodos estatísticos, cuja compreensão requer uma base considerável de conhecimentos sobre Probabilidade, particularmente Probabilidade Bayesiana. A intenção deste trabalho é reunir, deforma resumida, as definições e conceitos relativos a essa base, fornecendo uma referência para consulta rápida. A idéia é que seja um material que permita relembrar muito rapidamente os conceitos,e havendo necessidade (ou desejo) de aprofundá-los, a pessoa certamente buscará melhores fontes. A sequência em que os assuntos estão dispostos reflete bem o caráter utilitário do texto. Por exemplo,começamos diretamente de Variáveis Aleatórias Discretas, considerando que conhecimentos prévios já estão sob nosso domínio.
0.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Muitas vezes o resultado de um experimento não é numérico. Por exemplo, o experimento `Retire uma lâmpada de um lote e teste-a' tem como resultados possíveis `Defeituosa' ou `Não-defeituosa'. Por outro lado, um dado experimento pode ser traduzido numericamente de várias formas diferentes, e pode ser útil e necessário escolher uma delas. Assim, dado um experimento
x e seu espaço amostral associado, S, uma
variável aleatória X é uma função que associa a cada elemento s do espaço amostral, s
Î S, um número real X(s).
Uma
variável aleatória discreta é uma variável aleatória cujo contradomínio é um conjunto finito, ou infinito-enumerável.
Dado um experimento
x, seja X uma variável aleatória discreta sobre o espaço amostral S associado a
x. Isto é, X assume os valores X(S) = {x
1, x
2, ...}. Chamemos de X
R o contradomínio de X. Para cada resultado possível x
i, i = 1, 2, ..., podemos associar um número denominado
probabilidade de x
i: p(x
i) = P(X = x
i) satisfazendo as condições:
- p(xi) ³ 0, " i = 1, 2, ...
- å¥i = 1p(xi) = 1
Sendo assim, p é chamada
função de probabilidade da variável aleatória X. A coleção de pares [x
i, p(x
i)] é chamada de
distribuição de probabilidade de X.
Seja B um subconjunto no contradomínio R
X da variável aleatória X, e A o conjunto formado por todos os eventos t tais que X(t)
Î B. Então A e B são
eventos equivalentes.
Seja X uma variável aleatória discreta definida sobre um espaço amostral S, com contradomínio finito. Se para cada x
i Î X(S), definimos a probabilidade de x
i como P(X = x
i), obtemos um
espaço de probabilidade. Chamemos de f a esta função, com domínio X(S) e contradomínio no intervalo [0, 1], definida como f(x
i) = P(X = x
i). f é denominada
distribuição de probabilidade,
função de distribuição ou
distribuição de probabilidade de X.Dado que X(S) = {x
1, x
2, ..., x
n}, a distribuição f satisfaz:
- f(xi) ³ 0, i = 1, 2, ..., n
- åni = 1f(xi) = 1
Lembremos que P(X = a) = P({s
Î S : X(s) = a}).
Uma vez definidas as variáveis aleatórias, definimos alguns elementos que caracterizam uma variável aleatória:
- Esperança ou Média
Seja X uma variável aleatória discreta finita. Em geral podemos definir a média de uma variável aleatória X como E(X) = x1f(x1) + x2f(x2) + ... + xnf(xn) = åni = 1xif(xi). Isto é, a esperança é a média ponderada dos possíveis valores de X, ponderados por suas probabilidades. A média é também denotada como mX ou m.
- Variância
A variância mede o espalhamento ou dispersão dos valores assumidos por X, em relação à sua média. O que, em muitas aplicações, é uma informação mais útil do que a média em si. A variância é dada por var(X) = åni = 1(xi - m)2f(xi) = E((X - m)2), onde m é a média de X.
- Desvio-padrão
O desvio-padrão de X, sX = Ö{var(X)}, é a raiz quadrada da variância de X.
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On 09 Apr 2009, 19:06.
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